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刘春凤
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 第 8 章 无穷级数 级数的概念与性质级数的概念与性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法幂级数幂级数123 函数项级数函数项级数 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性 幂级数的运算幂级数的运算设设为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对若常数项级数若常数项级数敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ，记作若常数项级数，记作若常数项级数为定义在区间为定义在区间 I 上的收敛上的收敛,发散发散 ,所有所有为其为其收收 为其为其发散点发散点, 发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 ，记作，记作函数函数, 称称收I发I定义定义8.6为级数的为级数的和函数和函数 , 并写成并写成若用若用令余项令余项则在收敛域上有则在收敛域上有表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即 如果级数如果级数 收敛收敛, 其和其和S依赖于依赖于x，即是即是x 的称的称函数函数 等比级数它的收敛域是等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作它的发散域是或写作有和函数有和函数 【例如】【例如】形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列下面着重讨论下面着重讨论为幂级数的为幂级数的系数系数 .的情形的情形, 即即称称 幂级数在幂级数在x=0总是收敛的，即一切幂级数的收敛域都包含原点。总是收敛的，即一切幂级数的收敛域都包含原点。定义定义8.7【注】【注】发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛 发散收敛 发散 ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数则对满足不等式则对满足不等式的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 , 则对满足不等式则对满足不等式 设收敛, 则必有于是存在常数 M 0, 使 定理 8.10证证当 时, 收敛,故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,收敛域的结构：由阿贝尔定理知收敛域的结构：由阿贝尔定理知 0nnnxa;0)1(收收I幂级数在其中绝对收敛幂级数在其中绝对收敛收收),()2( I（3）存在）存在 幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .外发散外发散; 在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间.发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛 发散收敛 发散 若的系数满足的系数满足1) 若若 0, 则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当原级数收敛原级数收敛;当当原级数发散原级数发散.即即时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,即时即时,则则 定理 8.11证证2) 若若则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,对任意对任意 x 原级数因此因此原级数因此因此 的收敛半径为的收敛半径为 据此定理据此定理因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径的收敛半径的收敛半径R. 求幂级数求幂级数 ！nxxxxnxnnnnn2! 32! 222233221的收敛半径及收敛域 的收敛半径及收敛域 求幂级数求幂级数1lim nnnaaR,21lim)!1(22lim1nnnnnnn！),( 则则收收I例8.例8.18例8.例8.19解解解解的收敛半径为R，请思考下列级数的收敛半径是多少？思思 考考的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域 .求幂级数求幂级数在端点在端点x=-1处，级数为处，级数为在端点在端点x=1处，级数为处，级数为收敛发散所以，收敛域为（收敛发散所以，收敛域为（-1，1.例8.例8.20解解的收敛半径的收敛半径 . 级数缺少偶次幂项级数缺少偶次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.时级数绝对收敛时级数绝对收敛故直接由求幂级数当当考虑端点处的敛散性。当当故直接由求幂级数当当考虑端点处的敛散性。当当时。级数变为时。级数变为级数发散。级数发散。例8.例8.21解解故收敛半径为故收敛半径为 收敛域为收敛域为 当当时。级数变为时。级数变为显然也发散。显然也发散。 求级数 的收敛区间。 115)2()1(nnnnx，令，令2 xt ，原级数可化为，原级数可化为 115)1(nnnnt则该级数的收敛半径：则该级数的收敛半径：1lim nnntaaR1)1(5151limnnn时，时，1 t nn51)1(351251511级数级数收敛，收敛， 时，时，1 t n5135125151级数级数发散发散；所以收敛区间为；所以收敛区间为11 t ：则原级数的收敛区间为 ：则原级数的收敛区间为 , 121 x， .31 ，（即，（即收收I例8.例8.22解解 设幂级数设幂级数及的收敛半径分别为及的收敛半径分别为令令则有则有 : 和函数和函数）内连续。在收敛区间（）内连续。在收敛区间（RRxS,)( 性质8.48.4性质8.58.5 若幂级数若幂级数的收敛半径的收敛半径则其和函在收敛域上则其和函在收敛域上连续连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.性质8.68.6【注】【注】,)1()(11 nnnnxxS, 0)0( S显然显然两边积分得两边积分得)1ln()( 0xdttSx 21111)1()( xxxxSnnn,11x )11( x例8.例8.23解解,1时又 时又x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxS )1ln()0()(xSxS 即即 求级数求级数的和函数的和函数 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及收敛及收敛 , 例8.例8.24解解幂级数逐项求导或逐项积分后，收敛半径和收敛域是否发生变化？幂级数逐项求导或逐项积分后，收敛半径和收敛域是否发生变化？ 问问 题题【答案】【答案】收敛半径不变，收敛域有可能发生变化。收敛半径不变，收敛域有可能发生变化。解解 答答,)(12 nnnxxf, ,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域分别是但它们的收敛域分别是).1 , 1(),1 , 1,1 , 1
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