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积分
- 关 键 词：
-
应用
微积分
上册
教材
教学
课件
刘春凤
- 资源描述：
-
应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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主讲教师： 第一换元积分法第一换元积分法 1第二换元积分法第二换元积分法 2 第一换元积分法是由复合函数微分法导出的求原函数的一种积分方法第一换元积分法是由复合函数微分法导出的求原函数的一种积分方法. Cedxexx 1212解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量.利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令12 xt,21dtdx dxex 12dtet 21Cet21.2112Cex 问题问题第一换元积分法原理第一换元积分法原理 ：)(),()(xguufuF )()()()()(xgxgfxgxgFxgF )(xgF)()(xgxgf CxgFdxxgxgf )()()(设, 则有由此可见, 是的一个原函数，即设, 则有由此可见, 是的一个原函数，即第一换元积分法解题过程:第一换元积分法解题过程:CuFduufdxxxfxu )()()()()( 令凑令凑原式原式CxFxu )()( 回代回代使用此公式的关键在于将原式化为使用此公式的关键在于将原式化为)()()()(xdxfdxxxf第一换元积分法又称为凑微分法第一换元积分法又称为凑微分法. dxx321求积分求积分 3231,32uxxududx31C32ln31Cln31131321xuduudxx例例1解解 dxx100)32(求积分求积分 )32()32(31)32(100100xdxdxx101231 (23 )3101uxxC 令令Cnbaxadxbaxnn 1)(1)(1一般地一般地)()(1)(baxdbaxfadxbaxf例例2解解 dxx100)32(求积分求积分 )32()32(31)32(100100xdxdxx101231 (23 )3101uxxC 令令Cnbaxadxbaxnn 1)(1)(1一般地一般地)()(1)(baxdbaxfadxbaxf dxx10)12(1）（ ）（ dxx310)12(12）（ ）（求下列不定积分求下列不定积分例例3解解 dxxa221求积分求积分 原式原式 dxaxa222111即即2111arctanC1ux axxdaaaaxa 令令Carctan1122 axadxxa例例4解解求积分求积分 原式原式 dxaxa22111即即 )0(122adxxa21arcsinC1ux axxdaaxa 令令 )0(Carcsin122aaxdxxa例例5解解求积分求积分 因为因为 dxaxaxa1121即即 dxax221 Cln211222axaxadxax原式原式axaxaax1121122，所以，所以dxaxdxaxa1121)(1)(121axdaxaxdaxaCln21lnln21axaxacaxaxa例例6解解常见凑微分形式 常见凑微分形式 nnnndxxfndxxxf)(1)(1 xdxfdxxxf)(21)(xdxfdxxxfln)(ln1)(ln )()()(xxxxedefdxeef)(sin)(sincos)(sin xdxfxxdxf )(cos)(cossin)(cosxdxfdxxxf类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 )(tan)(tancos)(tansec)(tan22xdxfdxxxfxdxxf)(cot)(cotsin)(cotcsc)(cot22xdxfdxxxfxdxxf)(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf)(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 类型 求积分求积分 Csin31)(cos31333xxdx dxxx32cos原式原式 dxxxnncos)1(1 dxxx21)2(求下列不定积分答案：求下列不定积分答案： dxxxnncos)1(1 dxxx21)2(例例7解解求积分求积分 Ccos2)(sin2 xxdx dxxxsin原式求下列不定积分原式求下列不定积分 dxxx)1(1)1( dxxx)1(1)2(熟记凑微分形式熟记凑微分形式xddxx21 例例8解解求积分求积分 C3)(lnln)(ln32xxdx dxxx2)(ln原式求下列不定积分原式求下列不定积分dxxx ln1)1( dxxx)ln1(1)2(2例例9解解求积分求积分 Carctan)(1)(2xxxeeeddxeexx 21原式求下列不定积分原式求下列不定积分dxeexx 21)1( dxeexx2sec)2(例例10解解求积分求积分 Csinlnsin)(sinsincosxxxddxxx xdxcot原式即原式即 CsinlncotxxdxCcoslntan xxdx类似可得类似可得例例11解解求积分求积分 xxddxxxdxx22sin1sincoscoscos1原式即类似可得原式即类似可得Cxxsin1sin1ln21Cxx22cos)sin1(ln21Cxxcossin1lnCtanseclnxxCtanseclnsec xxxdxCcotcsclncsc xxdxx例例12解解求积分求积分 )(cos)cos1(cos24xdxx xdxx43cossin 原式原式)cos()cos(cos64 xdxxCcos71cos5175xx求积分求积分 xdxx22cossin原式原式dxxxdx)4cos1(812sin412）（）（xdxdx4cos81C4sin32181)4(4cos32181xxxxddx例例13解解例例14解解求积分求积分 dxxx arcsin112原式原式Cxxdx arcsinlnarcsinarcsin1求积分求积分 原式原式)(tantan)tan1(32 xxdx xdxx34tansec)(tantan)(tantan53xxdxxdCtan61tan4164xx例例15解解例例16解解求积分求积分 原式原式 xdxx33tansec)(sec)1(secsec22 xdxx)(secsec)(secsec24xxdxxdCsec31sec5135xx例例17解解第一类换元法解决的问题难求易求第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，易求,则得第二类换元积分法 .难求，第二换元积分法基本思路:第二换元积分法基本思路:CtFdtththfdxxfthx )()()()()(令令CxhFxht )(1)(1回代回代求积分求积分 令令 11xdx1xt,则有 ,则有 tdtdxtx2, 12于是原式于是原式Cttdttttdt)1ln(2)111(212把把1xt代回得代回得Cxxxdx )11ln1(211解解例例18求积分求积分 令令 1xedx1xet,则有 ,则有 dtttdxtx12),1ln(22于是原式于是原式Ctdtttt arctan2)1(22把代回得把代回得1xetCeedxxx 1arctan21例例19解解求积分求积分 令令)0(22 adxxa)22(sinttax,则有 把代回得,则有 把代回得dttatdtatadxxa2222coscoscosC)2sin21(222cos122 ttadttataxsin C21arcsin222222 xaxaxadxxa例例20解解求积分求积分 令令)0(22 aaxdx)22(tanttax,则有 把代回得,则有 把代回得taxtan C)ln(2222 axxaxdxtaataaxsectan22222于是 于是 tdtdttataaxdxsecsecsec2221Ctanseclntt例例21解解求积分求积分 令令)0(22 aaxdx)22(secttax,则有 把代回得,则有 把代回得taxsec 于是 于是 1Ctanseclntttaataaxtansec22222tdtdttattaaxdxsectantansec22C)ln(2222 axxaxdx例例22解解小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令令令令或或令令或或令令或或第四节讲第四节讲2. 常用基本积分公式的补充(7)2. 常用基本积分公式的补充(7) 分母中因子次数较高时, 可试用分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 倒代换 令令求积分求积分 原式原式 22xxdx 222321xdx 22232121xxdC23212321ln2321xxC1242ln31xx例例23解解求积分求积分 原式原式dxxx 58422dxx 9)22(22 223)22()22(xxdC3)22()22(ln22xxC58422ln2xxx例例24解解求积分求积分 原式原式 9162xdx 223)4( xdx 223)4()4(41xxdC)9164ln(412xx例例25解解1.两种换元积分法：1.两种换元积分法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换2.基本积分表.2.基本积分表.1在下列各式等号右端的空白处添上合适的系数，在下列各式等号右端的空白处添上合适的系数， 使等式成立。使等式成立。)32(_)1( xddx)32(_)2(2xdxdx)104(_)3(32xddxx)2(cos_2sin)4(xdxdx )52(_2)5(xxddx)5(_)6(22xxeddxxe)43ln(_43)7(22xddxxx)3(tan_3sec)8(2xdxdx )43ln(_431)9(xddxx)2(arcsin_211)10(2xddxx)1ln(_11)11(22xxddxx)29(ln(_29)12(332xddxxx)3(arccos_31)13(2xdxdx)13(sin_)13sin()13cos()14(2xddxxx)(_)15(3131xxeddxe 2求下列不定积分求下列不定积分dxx 5)32()1( xdx23)2( dxxxln1)3( 2)4(xxdx dxex 32)5( dxeexx2)6( dxx)52sin()7( dxxx3)8(3 dxexex)9( xxdx2ln)10( dxxex 2)11( dxxx232)12( dxxx)sin()(cos)13(2dxxx 49)14( dxxx3213)15(dxeexx 4)16(2 dxeexxcos)17( dxxxx)32cos()1()18(2 dxxx3221s
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