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教学
课件
刘春凤
- 资源描述：
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应用微积分上册教材教学课件刘春凤,应用,微积分,上册,教材,教学,课件,刘春凤
- 内容简介：
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第 4 章,主讲教师,中值定理与导数的应用,第 4 章 中值定理与导数应用,中值定理,洛必达法则,函数单调性和凹凸性,函数的极值与最值,函数图形描绘,4.3 函数单调性和凹凸性,1,2,函数单调性的判定法,确定函数单调区间的步骤,3,曲线的凹凸性及其判别法,4,确定函数凹凸区间的步骤,如果函数,在,那么它的图形是一条沿,曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即,与导数的符号有着密切的联系,上单调增加（单调减少,轴正向上升（下降）的曲线,由此可见，函数的单调性,设函数,连续，在,内可导,反之，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面的定理给出了一个用导数的符号来判定函数单调性的方法,在,因为函数,连续，在,内可导,在,在,上任取两点,应用拉格朗日中值定理得,证,由于,且,时,恒有,故,于是,即,表明,同理，若,时，恒有,故,于是,即,表明,证毕,注:(1)若,除个别点等于零外，在区间,为正（负），则仍有,或,例如,但是,2)该定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷 区间），结论依然成立,上处处,若,则称,是函数,的一个驻点,驻点和导数不存在的点统称为函数,的一阶可疑点,一个函数在其定义域内可能有多个单增区间和单减区间，我们要确定它们关键在于寻找增减区间的分界点。若,为函数,的增减区间分界点且在,两侧,存在，则在,两侧,必然异号，因而,或,不存在,导数等于零的点和导数不存在点划分函数定义域后，就可以使函数在各个部分区间上单调，因此确定函数单调区间的步骤如下,用一阶可疑点把定义域分开后列表判定,求,求一阶可疑点,求函数,的单调区间,定义域为,令,得驻点,把以上信息汇总列表如下,解,求函数,的单调区间,定义域为,令,得驻点,又,时导数不存在,把所求信息汇总列表如下,解,1）用可疑点把定义域分开后，可保证,部分区间内保持固定符号，从而可用部分区间内某点 导数值符号确定此区间导数符号,的增减区间分界点必为,疑点，反之不然,是函数,的驻点，但,不是函数,的增减区间分界点,在各个,2）函数,的一阶可,例如,注,函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。例如，图中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著的不同，左边的曲线是向上凹的曲线弧，右边的曲线是向上凸的曲线弧，它们的凹凸性不同，下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法,设函数,在区间 I 上连续,1) 若恒有,则称,图形是凹的,2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点,图形是凸的,或凹弧），记作,或凸弧），记作,观察图4.6可以看出,在凹弧上,曲线各点切线斜率随,的增加而增加，在凸弧上，曲线各点的切线斜率随,的增加而减少，如果在,区间内,是凹弧时,递增，而当曲线是凸弧时,据此下面的函数凹凸性判别法就不难理解了,存在，则当曲线,递减,设函数,在,二阶导数,内具有,设,在区间I上连续,是 I 的内点,如果曲线,在经过,性改变了，则称,显然拐点是曲线上凹凸区间的分界点，所以在拐点,必然异号，因而在拐点处,或,不存在。用二阶导数等于零的点和二阶导数不存,时，曲线的凹凸,为曲线的拐点,左右邻近,在点划分函数定义域后，就可确定曲线的凹凸区间和,拐点,函数,的二阶导数等于零的点和二阶导数,不存在的点统称为,的二阶可疑点,求,求曲线,的凹凸区间和拐点,定义域为,把所求信息汇总列表如下,拐点,拐点,解,求曲线,的凹凸区间和拐点,定义域为,把所求信息汇总列表如下,拐点,不存在,解,因此称 为“议会函数,在一次美国总统选举后,把当选总统所得公众选,举票数的百分比记作,记,这个函数有着有趣的性质（称为立方律,的值,可用来逼近当选总统所在党获得众议院议席的百分比,例如1939年，民主党候选人,富兰克林罗斯福赢得了公众61的选票，从而当选总统,在这次选举中，议会函数,即估计民主党,将占众议院议席的79。在实际选举中，民主党赢得333,个议席，共和党赢得89个席位，即民主党占78.9,求,的一阶、二阶导数，分析凹凸性,如图示,fx_:=(x3)/(x3+(1-x)3) Plotfx,x,0,1,解,即在总统选举中得票越多，在众议院获得席位越多,实际也是如此,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在
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