2009届（课改区）各省期末考试高三数学最新试题集锦（64套）
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2009届（课改区）各省期末考试高三数学最新试题集锦（64套）,课改区,各省,期末考试,高三,数学,最新,试题,集锦,64
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用心 爱 心 专 心 2009 年福建省普通高中毕 业 班质量检查 数学 (理科 ) 试题 本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )，共 8 页，全卷满分 150 分，考试时间120 分钟 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验 中 发生的概率 是 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率 Pn(k)= p(1 球的表面积公式 S=4中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=34 中 R 表示球的半径 第 选择题 共 60分 ) 一、选择题：本大题共 12小题。每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内 1复数 i(1 一 i)等于 ( ) A 1+i B 1 一 i C一 1+i D一 1 一 i 2设全集为 R， A=x|1 x 1， B= x| x0，则 B)等于 ( ) A x|0x 1 B x| x0 C x|x D x|x 3已知某一随机变量 的概率分布列如下，且 a 的值为 ( ) 4 a 9 P .1 b A 5 B 6 C 7 D 8 4已知 A、 B 为球面上的两点， O 为球心， 且 ， 20，则球的体积为 ( ) A29B 34 C 36 D 332 5已知条件 p: k= 3 ，条件 q：直线 y= 与圆 x2+ 相切，则 p 是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知数列 前 n 项和为 1 的等差中项， 则 ) A 1 B C (-1)n D (-1)若 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ( ) A若 m ， n ，则 m n B若 m ， m ， =n，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 =m， m n，则 n 用心 爱 心 专 心 8函数 y=x+)的周期为 2，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析 式可以写成 ( ) A )x(f =2x) B )x(f =x 一 2) C )x(f =x 一 1) D )x(f = 一 x) 9已知函数 y=f(x+1)的图象关于点 (0)成中心对称，则函数 y=f(x)一定是 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 知),x(x()x(f 则方程 f(x)=2 的实数根的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 11某学校开设 10 门选修课程，其中 3 门是技能类课程， 2 门是理论类课程学校规定每位学生应选修 4 门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修 1 门，则不同的选修方法种数是 ( ) A 50 B 100 C 11O D 115 12若函数 f(x)为奇函数，且在 (0， +)内是增函数，又 f(2)=0，则x )x(f)x(f 0 的解集为 ( ) A () (0,2) B (-， (0,2) C (-， (2， +) D () (2， +) 第 卷 (非选择题 共 90 分 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分。共 16 分请把正确答案填在题目后面的横线上 13二项式 (21)6的展开式中，常数项为 _. 14椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为 _ 15已知向量 a=(1， 1)， b=( x (0， )，若 a b ，则 x 的值是 _ 16阅读下面材料，并回答问题： 设 D 和 D在区域 D 内任取一点 M，记 点 M 落在区域 为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)=的面积的面积已知有序实数对 (a， b)满足 a O， 3， b 0， 2，则关于 x 的一元二次方程ax+ 有实数根的概率是 _ 用心 爱 心 专 心 三、解答题：本大题共 6小题，共 74分解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12分 ) 已知函数 f(x)=x R) (I)求 f(83)的值； ( )求 f(x)的单调递增区间 18 (本小题满分 12分 ) 在数列 ， ， =1 a(c 为常数， n N*)，且 公比不等于 1 的等比数列 (I)求证：数列等差数列 ； ( )求 c 的值； ( )设 bn=， 数列 前 n 项和为 19 (本小题满分 12分 ) 如图，在棱长为 2 的正方体 E、 F 分别为 (I)求证： 平面 ( )求异面直线 成的角； ( )在棱 ，使得二面角 大小为 30?若存在，求出 长；若不存在，请说明理由 20 (本小题满分 12分 ) 国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值 (美元 )与其重量 (克拉 )的平方成正比，且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元 (I)写出 关于 的函数关系式； ( )若把一颗钻石切割成重量比为 1 3 的两颗钻石，求价值损失 的百分率； ( )试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为 1： 1 切割，价值损失的百分率最大 (注：价值损失的百分率 =原有价值 现有价值原有价值 100；在切割过程中的重量损耗用心 爱 心 专 心 忽略不计 ) 21 (本小题满分 12分 ) 已知定点 A(a， O)( a 0)， B 为 x 轴负半轴上的动点以 边作菱形 其两对角线的交点恰好落在 y 轴上 (I)求动点 D 的轨迹 E 的方程； ( )过点 A 作直线 l 与轨迹 E 交于 P、 Q 两点，设点R (- a， 0)，问当 l 绕点 A 转动 时， 否可以为钝角 ?请给出结论，并加以证明 22 (本小题满分 14分 ) 已知函数 f(x)=ln(x+a) x = 0 处取得极值 (I)求实数 a 的值； ( )若关于 x 的方程， f(x)= 25在区 间 O， 2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围； ( )证明：对任意的正整数 n，不等式 11 都成立 用心 爱 心 专 心 2009 年福建省普通高中毕业班质量检查 数学 (理科 )试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分 数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 D 9 A 10 D 11 D 12 A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分。满分 16 分 13 15； 1422； 1543； 1632三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力满分 12 分 解： 1 c o s 2 1( ) s i n 222xf x x(4 分 ) 2 2 2 1( s i n 2 c o s 2 )2 2 2 221s i n ( 2 )2 4 2 (6 分 ) 3 2 1 1( I ) ( ) s i 2 2f (8 分 ) ( I I ) 2 2 22 4 2k x k 令 (10 分 ) 32 2 244k x k 即 3 ()88k x k k Z 时， f(x)单调递增 . 用心 爱 心 专 心 f(x)单调递增区间为 38k ， 38k ()(12 分 ) 18本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方 法；考查推理与运算能力满分 12 分 解法一： (I) 1 1nn ，且 ，显然 111 1 1nn n n ca a a a ，又 c 为常数， 数列 1是等差数列 . (4 分 ) ( )由 ( )知，111 ( 1 ) 1 ( 1 )nn c n (5 分 ) 1 2 5111 , , 4a a 又 211()1 1 4，解得 c=0 或 c=2. (7 分 ) 当 c=0 时， =合题意，舍去 . c=2. (8 分 ) ( )由 ( )知 c=2， 1 n (9 分 ) 11 1 1 1( ) .( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n n nb a a n n n n (10 分 ) 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 3 3 5 2 1 2 1nS 11(1 ) 1n (11 分 ) 12.(12 分 ) 解法二： ( ) 1 1nn ，且 ，显然 1111nn n ca a a ， (2 分 ) 用心 爱 心 专 心 111，又 c 为常数， 数列 1是等差数列 (4 分 ) ( )、 ( )解法同解法一 . 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力满分 12 分 解法一：如图分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 已知 得 D(0， 0， 0)、 A(2， 0， 0)、 B(2， 2， 0)、 C(0， 2， 0)、 ， 2， 2)、 ， 0， 2)、 E(1， 0， 2 )、 F(0， 2， 1) (2 分 ) ( )易知平面 12， 2， 2). (4 分 ) 又 (， 由 1， 1 平面 平面 (6 分 ) ( ) (0,2， 0)， 463| | | | 2 6E F A A B 异面直线 成的角为 (8 分 ). ( )设点 P(2， 2， t)(0=30或 =150， |24|32422(10 分 ) 即224 3 4( 2 )4，解得 6 (0, 23 ， 在棱 ，当 长为 63时， 二面角 大小为 30. (12 分 ) 解法二： ( )同解法一知 (， ，1， 2)， (， 0)， 1 1 又 平面 平面 (4 分 ) ( )、 ( )同解法一 解法三： ( )取 ，连结 ， 2 2 四边形 平行四边形， 平面 平面 平面 (4 分 ) ( )由 ( )知 是异面直线 成的角 (或补角 ) 连 平面 平面 ， ， 2 ， 22， 用心 爱 心 专 心 异面直线 成的角为 2 (8 分 ) ( )假设存在点 P，使得二面角 P 的大小为 30连结 O 点，连结 正方形， 平面 的射影，由三垂线定理得 二面角 P 的平面角， 0， 则 36233 6 (0, 23 在棱 ，当 长为 63时， 二面角 大小为 30. (12 分 ) 解法四： ( )取 ，连结 E 为 而 又 F 为 交， 交， 平面 平面 平面 平面 (4 分 ) ( )、 ( )同解法三 20本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分 12 分 解法一： ( )依题意设 v=(2 分 ) 又当 =3 时， v=54000， k=6000， (3 分 ) 故 0002 (4 分 ) ( )设这颗钻石的重量为 a 克拉， 由 ( )可知，按重量比为 l 3 切割后的价值为 6000(14a)2+6000(34a)2 (6 分 ) 价值损失为 60006000(14a)2+6000(34a)2 (7 分 ) 价值损失的百分率为 2 2 22136 0 0 0 6 0 0 0 ( ) 6 0 0 0 ( ) 44 0 . 3 7 5 3 7 . 5 %6000a a 答：价值损失的百分率为 (8 分 ) 用心 爱 心 专 心 ( )若把一颗钻石按重量比为 m n 切割成两颗，价值损失的百分率应为 22 221 ( ) ( ) ()m n m nm n m n m n ， (10 分 ) 又 2222 ( )212( ) ( ) 2n m n， (11 分 ) 等号当且仅当 m=n 时成立 . 即重量比为 1 1 时，价值损失的百分率达到最大 (12 分 ) 解法二： ( )、 ( )同解法一 ( )设一颗钻石切割成两颗，其重量比为 1 x， 则价值损失的百分率为 222121 ( ) ( ) 1 1 2 1x x x ,(10 分 ) 又 x0， 2x， 故22 2 12 1 2 2 2x x x 等号当且仅当 x=1 时成立 (11 分 ) 故当重量比为 1 1 时，价值损失的百分率达到最大 (12 分 ) 21本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分 12 分 解法一： ( )设 D(x， y)， A(a， 0)，由 菱形 且 交点在 y 轴上， B、 C 两点坐标为 (0)、 (y) 由 （ 2x， y） (2a， 4 ， 即 4(4 分 ) 注意到 菱形， x0 故轨迹 E 的方程为 4x0） . (5 分 ) ( ) 可能为钝角，即 0 (6 分 ) 证明如下： (1)当 x 轴时， P、 Q 点的坐标为 (a， 2 a)，又 R(一 a， 0)， 此时 0，结论成立； (7 分 ) (2)当 x 轴不垂直时，设直线 方程为 y=k(x 一 a)， 用心 爱 心 专 心 由 2 4,( ),y a xy k x a 得 - (2a)x + 0 记 P（ Q（ 则 x1+ 2a+24 x1 x2=（ x1+a）（ x2+a） +（ x1+a）（ x2+a） +a）（ a） =(1+x1 a - x1+a2+(1+(a - 2a+24+a2+40 (10 分 ) 即 为锐角， (11 分 ) 综上 (1)、 (2)知 0成立 (12 分 ) 解法二： ( )设 D(x， y)，由 菱形且 交点在 y 轴上， C 点坐标为 (y)， A(a， 0)，由 | 2 2 2 2( ) ( 0 ) ( ) ( )x a y x a y y ， 化简得 (4 分 ) 注意到 菱形， xO， 故轨迹 E 的方程为 ax(xO) (5 分 ) ( ) 可能为钝角，即 0.(6 分 ) 证明如下： 设 P（ Q（ ，同证法一易知，则 x1 x2= 2 x1+a ，因为 2+ 2- 2（ x1+a） 2+ x2+a） 2+x1+a)2 =2 1222ax 4(9 分 ) 从而 2 2 2| | | | | |2 | | | |P R Q R P Q R0， (11 分 ) 即 0(12 分 ) 解法三： ( )因为 菱形，且 交点在 y 轴上， 所以点 C 的横坐标为 即点 C 在直线 x = ，从而 D 到 C 的距离等于 D 到直线 x = 距 离又 菱形，所以点 D 到点 A 的距离与点 D 到直线 x = 距离 相等，即轨迹 E 为抛物线，方程为 (4 分 ) 注意到 菱形， xO， 用心 爱 心 专 心 故轨迹 E 的方程为 ax(xO) (5 分 ) ( ) 可能为钝角，即 0.(6 分
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