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高三 数学 一轮 复习 温习 训练 打包 66

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2014届高三数学一轮复习提分训练题（打包66套）,高三,数学,一轮,复习,温习,训练,打包,66

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1 两条直线的位置关系 一、选择题 1直线 1,2)且与直线 2x 3y 4 0垂直，则 ) A 3x 2y 1 0 B 2x 3y 5 0 C 3x 2y 7 0 D 2x 3y 8 0 解析 由直线 x 3y 4 0垂直，可知直线 32，由点斜式可得直线 y 2 32(x 1)，即 3x 2y 1 0. 答案 A 2 m 1是直线 (2m 1)y 1 0和直线 3x 2 0垂直的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由两直线垂直 3m m(2m 1) 0m 0 或 1，所以 m 1 是两直线垂直的充分不必要条件 答案 A 3直线 l： 4x 3y 2 0关于点 A(1,1)对称的直线方程为 ( ) A 4x 3y 4 0 B 4x 3y 12 0 C 4x 3y 4 0 D 4x 3y 12 0 解析 在对称直线上任取一点 P(x， y)， 则点 对称的点 P(x ， y) 必在直线 由 x x 2，y y 2， 得 P(2 x,2 y)， 4(2 x) 3(2 y) 2 0，即 4x 3y 12 0. 答案 B 4过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 ( ) A x 2y 5 0 B 2x y 4 0 C x 3y 7 0 D 3x y 5 0 解析 所求直线过点 A 且与 时 2，故求直线的斜率为 12，所以直线方程为 y 2 12(x 1)，即 x 2y 5 0. 答案 A 5已知点 A(1， 2)， B(m,2)，且线段 垂直平分线的方程是 x 2y 2 0，则实数 ) 2 A 2 B 7 C 3 D 1 解析 由已知条件可知线段 1 0 在直线 x 2y 2 0上，把中点坐标代入直线方程，解得 m 3. 答案 C 6. 直线10x 与直线( 1) 2 3 0a x y 互相垂直，则 ） A B C 1 D 2 解析 因为两直线垂直 ,所以1 2 0 ,解得1a,故选 C. 答案 C 7若曲线 y 2x 横坐标为 1 的点处的切线为 l，则点 P(3,2)到直线 l 的距离为( ) 2 2 2 010 解析 由题意得切点坐标为 ( 1， 1)切线斜率为 k y| x 1 2 3( 1)2 1，故切线 l 的方程为 y ( 1) 1x ( 1)，整理得 x y 2 0， 由点到直线的距离公式得：点 P(3,2)到直线 3 2 2|12 12 7 22 . 答案 A 二、填空题 8. 若直线与直 线2 5 0 与直线2 6 0x 互相垂直，则实数 =_ 1 2 1 212, , 12k k k 直 线 互 相 垂 直 ,，即12( ) 1, 12 . 答案 1 9. 已知直线 1: ( 3 ) ( 4 ) 1 0l k x k y 与 2: 2( 3 ) 2 3 0l k x y 平行，则 k 的值是_. 解析 因为两直线平行 ,所以当3k时 ,成立 ;当3k时 ,41k,解得5. 答案 3或 5 10已知 1a 1b 1(a 0， b 0)，点 (0， b)到直线 x 2y a 0的距离的最小值为 _ 解析 点 (0， b)到直线 x 2y a 0的距离为 d a 2 15(a 2b) 1a 1b 15 3 215(3 2 2) 3 5 2 105 ，当 2a b a 1 2， b 2 22 时取等号 答案 3 5 2 105 3 11若直线 x y 1 0与 x y 3 0所截得的线段的长为 2 2，则 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 _(写出所有正确答案的序号 ) 解析 记直线 2 线段的长是 2 2，因此直线 2 2 12，直线 0 ，又直线 5 ，因此 15 或 75 ，故正确答案的序号是 . 答案 12已知 0 k 4，直线 2y 2k 8 0和直线 2x 44 0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 _ 解析 由题意知直线 (2,4)，直线 k，直线 2，所以四边形的面积 S 122(4 k) 124(2 2) 4k 8，故面积最小时，k 18. 答案 18 三、解答题 13已知直线 l： 3x y 3 0，求： (1)点 P(4,5)关于 (2)直线 x y 2 0关于直线 解析 ：设 P(x， y)关于直线 l： 3x y 3 0的对称点为 P( x ， y) 1，即 y x3 1. 又 的中点在直线 3x y 3 0上， 3 x y 3 0. 由 得 x 4x 3y 95 ， y 3x 4y 35 . (1)把 x 4， y 5代入 及 得 x 2， y 7， P (4,5)关于直线 的坐标为 ( 2,7) 4 (2)用 分别代换 x y 2 0中的 x， y， 得关于 4x 3y 95 3x 4y 35 2 0， 化简得 7x y 22 0. 14已知两直线 4 0 和 (a 1)x y b 0，求满足下列条件的 a， (1)直线 3， 1)； (2)坐标原点到这两条直线的距离相等 解析 (1) a(a 1) b 0. 又 直线 3， 1)， 3a b 4 0. 故 a 2， b 2. (2) 直线 直线 1 a. 又 坐标原点到这两条直线的距离相等， 4b b. 故 a 2， b 2或 a 23， b 2. 15过点 P(1,2)的直线 4x 3y 1 0与 4x 3y 6 0截得的线段长| 2，求直线 l 的方程 . 解析 设直线 y 2 k(x 1)， 5 由 y 2 k，4x 3y 1 0， 解得 A3k 73k 4， 5k 83k 4 ； 由 y 2 k，4x 3y 6 0， 解得 B3k 123k 4，8 104 . | 2， 53k 4 2 54 2 2， 整理，得 748k 7 0， 解得 7或 17. 因此，所求直线 x 7y 15 0，或 7x y 5 0. 16过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 2x y 8 0 和 x 3y 10 0 截得的线段被点 直线 解析 设 (a,8 2a)， 则由题意知，点 的对称点 B( a,2a 6)在 代入 a 3(2a 6) 10 0， a 4，即点 A(4,0)在直线 所以直线 x 4y 4 0. 1 一元二次不等式及其解法 一、选择题 1不等式 x 2x 10 的解集是 ( ) A ( ， 1) ( 1,2 B ( 1,2 C ( ， 1) 2， ) D 1,2 解析 x 2x 10 x x ，x 10 1 x2 ，x 1， x ( 1,2 答案 B 2. 若集合 , xA x x B x x ，则 （ ） A. B. C. D. 解析 因为集合 , A x x B x x ,所以 ,选 B. 答案 B 3已知不等式 10 的解集是 12， 13 ，则不等式 a 0的解集是 ( ) A (2,3) B ( ， 2) (3， ) C. 13， 12 D. ， 13 12， 解析 由题意知 12， 13是方程 1 0 的根，所以由根与系数的关系得 12 13 12 13 a 6， b 5，不等式 a 0 即为 5x 6 0，解集为 (2,3) 答案 A 4. 已知全集 U 为 实数集 R，集合 Ax x 1x m0 ，集合 y|y x 1,8，则实数 m 的值为 ( ) A 2 B 2 C 1 D 1 解析 集合 y|y x 1， 8 1,2，故不等式 x 1x m0， 即不等式 (x 1)(x m)0 的解集为 ( ， 1) (m， ) ，所以 m 2. 答案 A 2 5在 R 上定义运算 ： a b 2a b，则满足 x (x 2) 0 的实数 x 的取值范围为( ) A (0,2) B ( 2,1) C ( ， 2) (1， ) D ( 1,2) 解析 根据给出的定义得 x (x 2) x(x 2) 2x (x 2) x 2 (x 2)(x 1)，又x (x 2) 0，则 (x 2)(x 1) 0，故这个不等式的解集是 ( 2,1) 答案 B 6对于实数 x，规定 x表示不大于 x 的最大 整数，那么不等式 4x2 36x 45 0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. 32， 152 B 2,8 C 2,8) D 2,7 解析 由 4x2 36x 45 0，得 32 x 152 ，又 x表示不大于 x 的最大整数，所以 2 x 8. 答案 C 7设函数 f(x) 2， x 0，c， x0 ， 若 f( 4) f(0)， f( 2) 0，则关于 x 的不等式f(x)1 的解集为 ( ) A ( ， 3 1， ) B 3， 1 C 3， 1 (0， ) D 3， ) 解析 当 x0 时， f(x) c 且 f( 4) f(0)，故其对称轴为 x 2， b4.又 f( 2) 4 8 c 0， c 4，当 x0 时，令 4x 41 有 3 x 1；当 x 0时， f(x) 21 显然成立，故不等式的解集为 3， 1 (0， ) 答案 C 二、填空题 8不等式 |x 1| |x 3|0 的解集是 _ 解析 原 不 等 式 等 价 于 x 1， x 1 x 或 1 x3 ，x 1 x 或 x 3，x 1 x ， 解得 1 x3 或 x 3，故原不 等式的解集为 x|x1 答案 x|x1 3 9已知函数 f(x) 1， x0 ，1， x 0， 则满足不等式 f(1 f(2x)的 x 的取值范围是_ 解析 由函数 f(x)的图象可知 (如下图 )，满足 f(1 f(2x)分两种情况： 1 ，x0 ，1 2x0 x 2 1. 1 0，x 0 1 x 0. 综上可知： 1 x 2 1. 答案 ( 1， 2 1) 10若关于 x 的不等式 12x (12)n0 对任意 n N*在 x ( ， 上恒成立，则实常数 的取值范围是 _ 解析 由题意得 12x( 12)12， x 12或 x 1. 又 x ( ， ， ( ， 1 答案 ( ， 1 11已知 f(x) 1x 2 x ， x x ，则不等式 f(x)2 的解集是 _ 解析 依题意得 1x 22 ，x2，或 x 42 ，x2. 解得 x ( ， 2 1,252， . 答案 ( ， 2 1,2 52， 12若不等式 2x 1 m (1)对满足 2 m2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围为_ 4 解析 (等价转化法 )将原不等式化为： m(1) (2x 1) 0.令 f(m) m(1) (2x1)， 则原问题转化为当 2 m2 时， f(m) 0 恒成立，只需 f 0，f 0 即可，即 x 0， x 0， 解得 1 72 x1 32 . 答案 1 72 ， 1 32 【点评】 本题用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即 “ 反客为主 ” 法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决 . 三、解答题 13已知 f(x) 24x 7，求不等式 f x 2x 1 1 的解集 解析 原不等式可化为 24x 7 2x 1 1， 等价于 24x 72x 1 1 ， 即 24x 72x 1 10 ， 即 2x 82x 10. 由于 2x 1 (x 1)20. 所以原不等式等价于 2x 80 ，2x 10. 即 2 x4 ，x1. 所以原不等式的解集为 x| 2 x1 或 1x4 14已 知函数 f(x) 1. (1)若对于 x R， f(x) 0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于 x 1,3， f(x) 5 m 恒成立，求实数 m 的取值范围 思路分析 第 (2)问将不等式 f(x) 5 m， x 1,3恒成立转化为 m g(x)， x 1,3上恒成立，再求 g(x)的最小值即可 解析 (1)由题意可得 m 0 或 m 0， 4m 0 m 0 或 4 m 0 4 m0. 故 m 的取值 范围为 ( 4,0 (2) f(x) m 5m(x 1) 6， x 1 0， 5 m 6x 1对于 x 1,3恒成立， 记 g(x) 6x 1， x 1,3， 记 h(x) x 1， h(x)在 x 1,3上为增函数 则 g(x)在 1,3上为减函数， g(x)g(3) 67， m 67. 所以 m 的取值范围为 ， 67 . 【点评】本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围 . 15一个服装厂生产风衣，月销售量 x(件 )与售价 p(元 /件 )之间的关系为 p 160 2x，生产 x 件的成本 R 500 30x(元 ) (1)该厂月产量多大时，月利润不少于 1 300 元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 (1)由题意知，月利润 y R， 即 y (160 2x)x (500 30x) 2130x 500， 由月利润不少于 1 300(元 )，得 2130x 5001 300 ， 即 65x 9000 ，解得 20 x45. 故该厂月产量 20 45 件时，月利润不少于 1 300 元 (2)由 (1)得， y 2130x 500 2 x 652 2 3 2252 ， 由题意知， x 为正整数 故当 x 32 或 33 时， y 最大为 1 612. 所以当月产量为 32 或 33 件时，可获最大利润，最大利润为 1 612 元 16解关于 x 的不等式 22 x ax(a R) 解析 原不等式可化为 (a 2)x 20 (2)(x 1)0. (1)当 a 0 时，原不等式化为 x 10 x 1； (2)当 a 0 时， 原不等式化为 x 2a (x 1)0 x 2a或 x 1； (3)当 a 0 时，原不等式化为 x 2a (x 1)0. 6 当 2a 1，即 a 2 时，原不等式等价于 1 x 2a； 当 2a 1，即 a 2 时，原不 等式等价于 x 1； 当 2a 1，即 2 a 0 时，原不等式等价于 2a x 1. 综上所述：当 a 2 时，原不等式的解集为 1， 2a ； 当 a 2 时，原不等式的解集为 1； 当 2 a 0 时，原不等式的解集为 2a， 1 ； 当 a 0 时，原不等式的解集为 ( ， 1； 当 a 0 时，原不等式的解集为 ( ， 1 2a， . 1 三角函数的图像与性质 一、选择题 1函数 f(x) 2 ) A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 解析 f(x) 2x x. f(x)是最小正周期为 的奇函数 答案 C 2. 已知 0，0， 直线4f(x)= x+ )图像的两条相邻的对称轴，则 =( ) 解析 因为和45是函数图像中相邻的对称轴，所以 ，即答案 A 3函数 f(x) (1 3x) ) A 2 C 析 依题意，得 f(x) x 3x 2 x 6 . 答案 A 4函数 y x 4 在区间 0， 2 上 ( ) A单调递增且有最大值 B单调递增但无最大值 C单调递减且有最大值 D单调递减但无最大值 解析 由 2 x 4 2，得 4 x 34 ， 2 则函数 y x 4 在区间 4， 34 上是增 函数， 又 0， 2 4， 34 ，所以函数在 0， 2 上是增函数，且有最大值 22 ，故选 A. 答案 A 5已知函数 f(x) x 2 (x R)，下面结论错误的是 ( ) A函数 f(x)的最小正周期为 2 B函数 f(x)在区间 0， 2 上是增函数 C函数 f(x)的图像关于直线 x 0对称 D函数 f(x)是奇函数 解析 y x 2 x， T 2 ，在 0， 2 上是增函数，图像关于 偶函数 答案 D 6函数 y x 1 的值域为 ( ) A 1,1 B. 54， 1 C. 54， 1 D. 1， 54 解析 (数形结合法 )y x 1，令 x t，则有 y t 1， t 1,1，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当 t 12及 t 1 时，函数取最值，代入 y t 1可得 y 54， 1 . 答案 C 【点评】 本题采用换元法转化 为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围 . 7已知函数 f(x) 2x )， x R，其中 0， . 若 f(x)的最小正周期为 6 ，且当 x 2时， f(x)取得最大值，则 ( ) A f(x)在区间 2 ， 0上是增函数 B f(x)在区间 3 ， 上是增函数 3 C f(x)在区间 3 ， 5 上是减函数 D f(x)在区间 4 ， 6 上是减函数 解析： f(x)的最小正周期为 6 ， 13， 当 x 2时， f(x)有最大值， 13 2 2 2k Z)， 3 2 ， 3. f(x) 2 3 ，由此函数图像易得，在区间 2 ， 0上是增函数，而在区间 3 ， 或 3 ， 5 上均没单调性，在区间 4 ， 6 上是单调增函数 答案： A 二、填空题 8定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 ，且当 x 0， 2时， f(x) x，则 f 53 的值为 _ 解析： f 53 f 3 f 3 32 . 答案： 32 9已知函数 f(x) x ) 3x ) 2， 2 是偶函数，则 的 值为_ 解析 (回顾检验法 )据已知可得 f(x) 2 x 3 ，若函数为偶函数，则必有 3 2(k Z)，又由于 2， 2 ，故有 3 2，解得 6，经代入检验符合题意 答案 6 【点评】 本题根据条件直接求出 的值，应将 再代入已知函数式检验一下 . 10函数 f(x)2 x 4 2x 的最大值为 M，最小值为 m，则 M m _. 解析 (构造法 )根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式， f(x) 1 4 x x， f(x) 1为奇函数，则 m 1 (M 1)，所以 M m 2. 答 案 2 【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解 ，这是整体观念与构造思维的一种应用 助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解 . 11关于函数 f(x) 4 2x 3 (x R)，有下列命题： 由 f( f( 0 可得 的整数倍； y f(x)的表达式可改写为 y 4 2x 6 ； y f(x)的图像关于点 6， 0 对称； y f(x)的图像关于直线 x 6对称 其中正确命题的序号是 _(把你认为正确的命题序号都填上 ) 解析 函数 f(x) 4 2x 3 的最小正周期 T ，由相邻两个零点的横坐标间的距离是2知 错 利用诱导公式得 f(x) 4 2 2x 3 4 6 2x 4 2x 6 ，知 正确 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心，将 x 6 代入得 f(x)4 2 6 3 4 0， 因此点 6， 0 是 f(x)图像的一个对称中心，故命题 正确曲线 f(x)的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与 y 轴平行，而 x 6时 y 0，点 6， 0 不是最 高点也不是最低点，故直线 x 6不是图像的对称轴，因此命题 不正确 答案 12给出下列命题： 正切函数的图像的对称中心是唯一的； 5 y | y |最小正周期分别为 ， 2 ； 若 x1 若 f(x)是 数，它的最小正周期为 T，则 f 0. 其中正确命题的序号是 _ 解析 正切函数的对称中心是 0 (k Z)； y | y |最小正周期都是 ； 正弦函数在定义域 R 上不是单调函数； f f T f f 故 f 0. 答案 三、解答题 13. 已知函数 f(x) 221. (1)求函数 f(x)的最小正周期及值域； (2)求 f(x)的单调递增区间 解析 (1)f(x) 2 2x 4 ， 则函数 f(x)的最小正周 期是 ， 函数 f(x)的值域是 2， 2 . (2)依题意得 2 22 x 42 2(k Z)， 则 38 x 8(k Z)， 即 f(x)的单调递增区间是 38 ， 8 (k Z) 14已知 f(x) x 2 x . (1)若 0， ，且 13，求 f( )的值； (2)若 x 0， ，求 f(x)的单调递增区间 解析 (1)由题设知， f( ) . 13 2 0， 0， ， 0， 2 ， 0. 由 ( )2 1 2 43， 得 23 3， f( ) 23 3. (2)f(x) 2 x 4 ，又 0 x ， 6 f(x)的单调递增区间为 0， 4 . 15设函数 f(x) x )( 0)， y f(x)图像的一条对称轴是直线 x 8. (1)求 ； (2)求函数 y f(x)的单调增区间 解析 (1)令 2 8 2， k Z， 4， k Z， 又 0，则 54 k 14， k Z， k 1，则 34 . (2)由 (1)得： f(x) 2x 34 ， 令 2 2 x 34 2 2 k Z， 可解得 8 x 58 k Z， 因此 y f(x)的单调 增区间为 8 58 k Z. 16已知 a 0，函数 f(x) 2 2x 6 2a b，当 x 0， 2 时， 5 f(x)1. (1)求常数 a， (2)设 g(x) f x 2 且 lg g(x) 0，求 g(x)的单调区间 解析 (1) x 0， 2 ， 2x 6 6， 76 . 2x 6 12， 1 ， 2 2x 6 2a， a f(x) b,3a b， 又 5 f(x)1 ， b 5,3a b 1， 因此 a 2， b 5. 7 (2)由 (1)得 a 2， b 5， f(x) 4 2x 6 1， g(x) f x 2 4 2x 76 1 4 2x 6 1， 又由 lg g(x) 0得 g(x) 1， 4 2x 6 1 1， 2x 6 12， 2 6 2x 6 2 56 ， k Z， 其中当 2 6 2x 62 2， k g (x)单调递增， 即 x 6， k Z， g(x)的单调增区间为 6 ， k Z. 又 当 2 2 2x 6 2 56 ， k g(x)单调递减， 即 6 x 3， k Z. g(x)的单调减区间为 6， 3 ， k Z. 1 不等关系与不等式 一、选择题 .6,a 4l 3.2,b 4.6,c则 ( ) B. a c D. c a 因为1a, 且大于 0,故排除 C,D;又因为, 为底的对数 ,真数大 ,函数值也大 ,所以,故选 B. 答案 B 2设 02， A a 1 a， B a 2 a 2，则 A、 B 的大小关系是 ( ) A AB B A. 答案 A 5若 a 0， b 0，则不等式 b 1x a 等价于 ( ) A 1b x 0 或 0 x 1a B 1a x 1b C x 1a或 x 1b D x 1b或 x 1a 解析 由题意知 a 0， b 0， x 0， (1)当 x 0 时， b 1x ax 1a； 2 (2)当 x 0 时， b 1x ax 1b. 综上所述，不等式 b 1x ax 1b或 x 1a. 答案 D 6已知 ，那么 1 是 1 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析 1 即 a 0，所以 a b 0，或 a b 0，此时 1 成立； 反之 1，所以 a 0，即 a b， a 0 或 a 0， a b， 此时不能得出 1. 答案 A 7若 a、 b R，且 0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A 2 B a b2 1b 2 解析 对 A：当 a b 1 时满足 0，但 2以 A 错；对 B、 C：当 a b 1时满足 0，但 a b 0， 1a 1b 0，而 2 0， 20，显然 B、 C 不对；对 D：当 0 时，由均值定理 2 2. 答案 D 二、填空题 8若 答案 若 x y， a b，则在 a x b y， a x b y， x b y a， 成立的所有不等式的序号是 _ 解析 令 x 2， y 3， a 3， b 2， 符合题设条件 x y， a b， a x 3 ( 2) 5， b y 2 ( 3) 5， a x b 不成立 3 又 6， 6， 也不正确 又 3 3 1， 2 2 1， 不正确 由不等式的性质可推出 成立 答案 10已知 1 x y4 ，且 2 x y3 ，则 z 2x 3y 的取值范围是 _(用区间表示 ) 解析 z 12(x y) 52(x y)， 3 12(x y) 52(x y)8 ， z 3,8 答案 3,8 11若角 ， 满足 2 2 ，则 2 的取值范围是 _ 解析 2 2 ， 2 ， 2 2 ， 32 2 32 ，又 2 ( ) 2 ， 32 2 2 . 答案 32 ， 2 12. 设 a b 1，0c，给出下列三个结论： c ； cab； ) )c b c ， 其中所有的正确结论的序号是 . 答案 三、解答题 13已知 a0， b0，试比较 M a a 解析 ( a b)2 ( a b)2 a b 2 a b 2 ， MN. 14已知 f(x) c 且 4 f(1) 1， 1 f(2)5 ，求 f(3)的取值范围 4 解析 由题意 ，得 a c f ，4a c f ， 解得 a 13f f ，c 43f 13f(3) 9a c 53f(1) 83f(2) 因为 4 f(1) 1，所以 53 53f(1) 203 ， 因为 1 f(2)5 ，所以 83 83f(2) 403. 两式相加，得 1 f(3)20 ， 故 f(3)的取值范围是 1,20 15已知 a R，试比较 11 a 的大小 解析 11 a (1 a) a. 当 a 0 时， a 0， 11 a 1 a. 当 a 1 且 a0 时， a 0， 11 a 1 a. 当 a 1 时， a 0， 11 a 1 a. 综上所述，当 a 0 时， 11 a 1 a； 当 a 1 且 a0 时， 11 a 1 a； 当 a 1 时， 11 a 1 a. 16 (1)设 x1 ， y1 ，证明 x y 11x 1y (2)设 1 a b c，证明 解析 (1)由于 x1 ， y1 ，所以 x y 11x 1y xyxy(x y) 1 y x (. 将上式中的右式减左式，得 y x ( xy(x y) 1 ( 1 xy(x y) (x y) (1)(1) 5 (x y)(1) (1)(x y 1) (1)(x 1)(y 1) 既然 x1 ， y1 ，所以 (1)(x 1)(y 1)0 ，从而所要证 明的不等式成立 (2)设 x， y，由对数的换底公式得 11x， 1y， 于是，所要证明的不等式即为 x y 11x 1y 中 x ， y . 故由 (1)可知所要证明的不等式成立 1 两角和与差的正 弦、余弦、正切 一、选择题 3计 算 3 ） 32解析 原式 =1si n ( 43 = si n 3 0 = 2，故选 A. 答案 A 满足 4 ，则 等于 ( ) B 12 C. 22 D 22 解析：由 4 得 ( )( ) 22 ( ) 由 为锐角知 0. 22 ，平方得 1 12. 12. 答案： A 3已知 x 2， 0 ， x 45，则 ) B 724 D 247 解析 x 2， 0 ， x 45. x 35， x 34. x 2 341 34 2 247. 答案 D 4已知 ， 都是锐角，若 55 ， 1010 ，则 ( ) 2 4 D 4和 34 解析 由 ， 都为锐角，所以 1 2 55 ， 1 3 1010 ) 22 ，所以 4. 答案 A 5若 0 2 ， 2 0， 4 13， 4 2 33 ，则 2 ( ) A. 33 B 33 9 D 69 解析 对于 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 ， 而 4 4 ， 34 ， 4 2 4， 2 ， 因此 4 2 23 ， 4 2 63 ， 则 2 13 33 2 23 63 5 39 . 答案 C 6已知 是第二象限角，且 ) 35，则 值为 ( ) B 237 C 247 D 83 解 析 由 ) 35，得 35，又 是第二象限角，故 1 45， 34， 22 341 34 2 247. 答案 C 7已知 6 4 35 ，则 76 的值是 ( ) 3 A 2 35 6 C 45 析 6 4 35 32 32 4 35 6 45， 所以 76 6 45. 答案 C 二、填空题 8已知 4 13， 0， 2 ，则 _. 解析： 0， 2 ， 4 4， 34 ， 4 2 23 . 故 4 4 4 4 13 22 2 23 22 4 26 . 答案 ： 4 26 9 化简 2 1 3 2的结果是 _ 解析 原式 2 3 2 2 21232 2 2 2 2 2 2( 2 2 6. 答案 6 10已知 4 3，则 2值为 _ 解析 法一 4 3， 1 1 3， 4 解得 12. 2 1 2 1 21 1 1 1 45 35 1 45. 法二 2 1 2 2 2 2 1 1 4 1 4 2 4 1 4 1 1 91 9 231 9 1 45. 答案 45 11函数 f(x) 2_ 解析 f(x) 2x 1 x x 1 2 2x 4 ， f(x)12. 答案 1 2 12若 ) 15， ) 35，则 _. 解析 由已知，得 15， 35，则有 25， 15， 12，即 12. 答案 12 三、解答题 13已知 4 x 513，且 x 4， 34 ，求 1 x. 解析 x 4， 34 ， 4 x 2， ， 5 4 x 1213， 4 x 512， 1 x 1 x 4 125 . 14设函数 f(x) x 2 ， x R. (1)若 12，求 f(x)的最大值及相应的 (2)若 x 8是 f(x)的一个零点，且 0 10，求 的值和 f(x)的最小正周期 解析 (1)f(x) x 2 当 12时， f(x) 2 4 ， 而 1 4 1 ，所以 f(x)的最大值为 2， 此时， 4 2 2 k Z，即 x 32 4 k Z， 相应的 x x 32 4 k Z . (2)因为 f(x) 2 x 4 ， 所以， x 8是 f(x)的一个零点 f 8 8 4 0， 即 8 4 k Z，整理，得 8k 2， 又 0 10，所以 08k 210， 14k1，而 k Z，所以 k 0， 2， f(x) 2 2x 4 ， f(x)的最小正周期为 . 15在 A、 B、 f(B) 4 4 3B 2. (1)若 f(B) 2，求角 B； (2)若 f(B) m 2恒成立，求实数 值范围 解析 (1)f(B) 41 2 3B 2 2(1 ) 3B 2 2 3B 6 B 3B 2 2B 3 . f(B) 2， 2 2B 3 2， 3 2B 3 73 ， 2B 3 2. B 12. (2)f(B) m 2恒成立 ， 即 2 2B 3 2 0 B ， 2 2B 3 2,2， 2 m 2. m 4. 16 (1) 证明两角和的余弦公式 C( )： ) ； 由 C( )推导两角和的正弦公式 S( )： ) . (2)已知 45， ， 32 ， 13， 2， ， 求 ) 解析 (1)证明 如图，在直角坐标系 作单位圆 O，并作出角 ， 与 ，使角 的始边为 非负半轴，交 O 于点 边交 O 于点 的始边为 边交 3，角 的始边为 边交 4. 则 ,0)， P2( ， )， P3( )， )， P4( )， ) 由 ) 12 ) ) 2 ) 2，展开并整理， 得 2 2 ) 2 2( ) ) . 由 易得， 2 ， 2 . ) 2 2 2 ) 2 ) 7 . ) . (2) ， 32 ， 45， 35. 2， ， 13， 3 1010 ， 1010 . ) 45 3 1010 35 1010 3 1010 . 1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、选择题 1不等式 x 2y 0表示的平面区域是 ( ) 解析 将点 (1,0)代入 x 2 20 1 0. 答案 D 2设实数 x， y 满足不等式组 x 2y 50，2x y 70，x0 ， y0.若 x， y 为整数，则 3x 4y 的最小值是( ) A 14 B 16 C 17 D 19 解析 线性区域边界上的整点为 (3,1)，因此最符合条件的整点可能为 (4,1)或 (3,2)， 对于点 (4,1)， 3x 4y 34 41 16；对于点 (3,2)， 3x 4y 3 3 42 17，因此 3x46. 答案 B 3. 设变量 x， 20,0 15, 则 2x+3 ) A. 20 C. 45 D. 55 解析 画出可行域，根据图形可知当 x=5,y=15时 2x+3大值为 55，故选 D. 答 案 D 4某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、 20 元，生产甲产品每件需用 产乙产品每件需用 0 0 0 件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为 ( ) A 500元 B 700 元 C 400元 D 650 元 2 解析 设每天生产甲乙两种产品分别为 x， x， 2x 3y60 ，4x 2y80 ，y x10 ，x0 ，y0 ，x， y N*z 30x 20y. 不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，在直线 2x 3y 60和直线 4x 2y 80 的交点 B 处取得最大值，解方程组得 B(15,10)，代入目标函数得 3015 2010 650. 答案 D 5设实数 x， 4x y 100 ，x 2y 80 ，x0 ， y0 ，若目标函数 z by(a 0， b 0)的最大值为 12，则 2a 3 ) D 4 解析 由可行 域可得，当 x 4， y 6时，目标函数 z 4a 6b 12，即 1. 2a 3b 2a 3b 136 136 2 256. 答案 A 6已知不等式组 x y1 ，x y 1，y0表示的平面区域为 M，若直线 y 3k 与平面区域 ) A. 0， 13 B. ， 13 C. 13， 0 D. ， 13 解析 如 图所示，画出可行域，直线 y 33,0)，由数形结合，知该直线的斜 3 率的最大值为 k 0，最小值为 k 0 13 0 13. 答案 C 7设双曲线 41的两条渐近线与直线 x 2围成的三角形区域 (包含边界 )为 D， P(x，y)为 目标函数 z 12x ) A 2 B 3 22 C 0 D 5 22 解析 曲线 41 的两条渐近线方程为 2x y 0,2x y 0，与直线 x 2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数 z 12x ( 2， 2 2)处取得最小值为 z 12 2 2 2 32 2. 答案 二、填空题 8若点 P(m,3)到直线 4x 3y 1 0的距离为 4，且点 x y 3表示的平面区域内，则 m