内容简介：: 1 课时跟踪检测 (七十四 ) 特征值与特征向量 1求矩阵 2 11 2 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量 2已知矩阵 A 1 2 2 3 ， B 2 31 2 ， C 0 11 0 ，求满足 C 的矩阵 X. 3已知 M 1 2 2 1 ， a 31 ，试计算 4已知矩阵 A 1 a 1 b ， A 的一个特征值 2，其对应的特征向量是 1 21 . (1)求矩阵 A； (2)设向量 74 ，试计算值 5已知矩阵 M 7 64 3 ，向量 65 . (1)求矩阵 M 的特征值 1， 2和特征向量 1和 2； (2)求值 2 6 (2014 苏北四市调研 )已知矩阵 A 2 ，其中 a R，若点 P(1,2)在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P(6 ， 7) (1)求实数 a 的值与矩阵 A； (2)求矩阵 A 的特征值及相应的特征向量 7设 M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来 5 倍的伸缩变换 (1)求直线 4x 10y 1 在 M 作用下的方程； (2)求 M 的特征值与相应的特征向量 8已知矩阵 A 6 24 4 . (1)求矩阵 A 的特征值及对应的特征向量； (2)计算矩阵答案 1解：特征多项式 f( ) 2 1 1 2 ( 2)2 1 2 4 3，由 f( ) 0，解得 1 1， 2 3，将 1 1 代入特征方程组，得 x y 0， x y 0， 3 即 x y 0，可取 1 1 为属于特征值 1 1 的一个特征向量，同理， 2 3 时，由 x y 0， x y 0，即 x y 0，所以可取 11 为属于特征值 2 3 的一个特征向量综上所述，矩阵 2 11 2 有两个特征值 1 1， 2 3；属于 1 1 的一个特征向量为 1 1 ，属于 2 3 的一个特征向量为 11 . 2解： C，所以 (A 1A)B 1 A 11 而 A 1B 1 1 X(1) X，所以 X A 11 因为 A 1 3 22 1 ， B 1 2 3 1 2 ，所以 X A 11 3 2 2 1 0 11 0 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1 00 1 . 3解：矩阵 M 的特征多项式为 f( ) ( 1)2 4，令 f( ) 0 解得 1 3， 2 1，对应的特征向量分别为 1 1 和 11 ，而 1 1 211 ，所以 320 1 1 2( 1)20 11 320 2 320 2 . 4解： (1)由题设条件可得， 1 a 1 b 21 221 ， 4 即 2 a 4， 2 b 2，解得 a 2，b 4，矩阵 A 1 2 1 4 . (2)矩阵 A 的特征多项式方程为 f( ) 1 21 4 2 5 6 0，解得 1 2， 2 2 3 时，可得特征向量 2 11 . 设，则 2m n 7m n 4 解得 m 3， n 1， 1 2) 3() 3( 51 1) 52 2 32 5 21 35 11 435339 . 5解： (1)M 7 64 3 的特征多项式为 f( ) 7 6 4 3 2 4 3，令 f( ) 0，得 1 1， 2 3. 当 1 1 时，得 1 11 ；当 2 3 时，得 2 32 . (2)由得 m 3n 6，m 2n 5，得 m 3， n 1. 1 2) 3( 61 1) 62 2 2 1901 461 . 6解： (1)由题意知， 2 12 2 2 67 ， 2 2a 6， a 2， A 2 21 3 . 5 (2)由 (1)知， A 2 21 3 ，其特征多项式为 f( ) 2 2 1 3 ( 2)( 3) 2，令 f( ) 0，即 2 5 4 0，解得 1 1， 2 4. 当 1 1 时，设对应的特征向量为则 2 21 3 即 2m 2n m，m 3n n，取 n 1，则 m 2，故 21 ；当 2 4 时，设对应的特征向量为则 2 21 3 4 即 2x 2y 4x，x 3y 4y，取 x 1，则 y 1，故 11 . 矩阵的一个特征向量为 2 1 ，属于特征值 4的一个特征向量为 11 . 7解： (1)由题意得 M 1 00 5 . 设 (x ， y) 是所求曲线上的任一点， 1 00 5 xy ，所以 x x，y 5y，所以 x x ，y 15y ，代入 4x 10y 1 得， 4x 2y 1， 6 所以所求曲线的方程为 4x 2y 1. (2)矩阵 M 的特征多项式 f( ) 1 00 5 ( 1)( 5)，令 f( ) 0，所以 M 的特征值为 1 1， 2 5. 当 1 1 时，由 1 1，得特征向量 1 10 ；当 2 5 时，由 2 2，得特征向量 2 01 . 8解： (1)矩阵 A 的特征方程为 6 2 4 4 ( 6)( 4) 8 2 10 16 0. 得矩阵 A 的特征值为 1 8， 2 2. 当 1 8 时， A 属于 1的特征向量为 1 11 ；当 2 2 时， A 属于 2的特征向量为 2 1 2 . (2)设 a bc d 8， 2，即 a bc d 11 8a bc d 1 2 2

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