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注册土木工程师考试密押资料基础知识分类模拟题高等数学(七)注册土木工程师考试密押资料基础知识分类模拟题高等数学(七)基础知识分类模拟题高等数学(七)单项选择题(下列选项中，只有一项符合题意)问题:1. 已知矩阵那么与A既相似又合同的矩阵是 。 答案:D解析 两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与A相似的矩阵即可，也就是求A的特征值。 问题:2. 以C表示事件“零件长度合格且直径不合格”，则C的对立事件是 。A.“零件长度不合格且直径合格”B.“零件长度与直径均合格”C.“零件长度不合格或直径合格”D.“零件长度不合格”答案:C解析 设A=零件长度合格，B=零件直径合格， 问题:3. 设XP()，且PX=3=PX=4，则为 。A.3B.2C.1D.4答案:D解析 因为XP()，则PX=3=PX=4，也即=4。问题:4. 函数ex展开成为x-1的幂级数足 。 答案:B解析 ex在实数范围内有直到n+1阶的导数，利用泰勒公式展开如下： 问题:5. 设A，B为n阶矩阵，A*，B*分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵则C的伴随矩阵C*= 。 答案:D解析 若A、B可逆，则C可逆，且C*=|C|C-1，可求得C*。若A、B不全可逆，则对四个选项验证：CC*=|C|E。 若A、B均可逆，则A*=|A|A-1，B*=|B|B-1， 从而 对比四个选项知，只有D成立。 当A或B不可逆时，利用定义可证D仍成立。 问题:6. 设随机变量X的二阶矩存在，则 。 答案:D解析 DX=EX2-(EX)20，故EX2(EX)2。AB两项对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立。例如，随机变量X在区间0，1上服从均匀分布，则EXA项成立，此时B项不成问题:7. 级数的收敛性是( )。A.绝对收敛B.条件收敛C.等比级数收敛D.发散答案:A解析 条件收敛。 问题:8. a元二次型XTAX是正定的充分必要条件是 。A.|A|0B.存在n维非零向量X，使得XTAX0C.f的正惯性指数p=nD.f的负惯性指数q=0答案:C解析 |A|0是A正定的必要条件，不是充分条件，必须保证A的所有顺序主子式全大于0，才能推出XTAX是正定的，排除A。二次型XTAX正定的充分必要条件是对任意的n维非零向量X，均有XTAX0，而并非仅仅是存在，排除B。在D中，f的负惯性指数等于0，可保证XTAX为非负定二次型，但不能确保是正定二次型。问题:9. 设函数f(y)可导，则函数y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量x=-01时，相应的函数增量y，的线性主部为01，则f(1)= 。A.-1B.01C.1D.0.5答案:D解析 可导必可微，且y=y(x0)x+0(x)，应注意 由题设y=y(-1)x，即0.1=y(-1)(-01)。 于是y(-1)=-1，而由y=f(x2)，有y=2xf(x2)。 令x=-1，得y(-1)=-2f(1)， 问题:10. 设线性无关的函数y1、y2、y3，都是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是 。A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3答案:D解析 根据解的性质知，y1-y3，y2-y3，均为齐次方程的解且线性无关，因此C1(y1-y3)+C2(y2-y3)为齐次方程的通解，从而C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3为非齐次方程的通解。问题:11. 设1，2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，1，2是导组Ax=0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax=b的通解是 。 答案:C解析 非齐次线性方程纽Ax=b的通解是由导出组Ax=0的基础解系与某一特解构成。 问题:12. 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，3=3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是 。A.y-y-y+y=0B.y+y-y-y=0C.y-6y+11y-6y=0D.y-2y-y+2y=0答案:B解析 利用已知特解可推导出对应的特征根，从而推导出特征方程，进而推导出对应的微分方程。 由特解知，对应特征方程的根为1=2=-1，3=1。 于是特征方程为(+1)2(-1)=3+2-1=0。 故所求线性微分方程为y+y-y-y=0。 问题:13. 设a，b为非零向量，且满足(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则a与b的夹角= 。 答案:C解析 由两向量乖直的充要条件得： 问题:14. 若f(x)的一个原函数是，则fxf(x)dx=( )。 答案:D解析 因为，那么 问题:15. 方程是一旋转曲面方程，它的旋转轴是 。 Ax轴 By轴 cx轴 D直线x=y=z 答案:C解析问题:16. 函数在x处的微分是( )。 答案:A解析 由 问题:17. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 。A.n=4；p=0.6B.n=6；p=0.4C.n=8；p=0.3D.n=24；p=0.1答案:B解析 依题意得XB(n，p)，于是EX=np，DX=np(1-p)，于是可得方程组 解这个方程组， 问题:18. 过点(-1，2，3)垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线是 。 答案:A解析 直线的方向向量为s=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为，n=(7，8，9)。显然A、B、C中的直线均过点(-1，2，3)。对于A中直线的方向向量为s1=(1，-2，1)，有s1s，s1n，可见A中直线与已知直线垂直，与平面7x+8y+9z+10=0平行。问题:19. 若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为 。A.1+sinxB.1-sinxC.1+cosxD.1-cosx答案:B解析 对sinx积分两次得f(x)的原函数，即可选出正确项。 由题设f(x)=sinx，于是f(x)=f(x)dx=-cosx+C1。 从而f(x)的原函数为：F(x)=fx)dx=(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2。 令C1=0，C2=1，即得f(x)的一个原函数为1-sinx。 问题:20. 计算，其中为z2=x2+y2，z=1围成的立体，则正确的解法是 。 答案:B解析 采用坐标变换则区域可表示为 =(r，z)；rz1，0r1，02 问题:21. 二次型A.0B.1C.2D.3答案:B解析 二次型的秩等于它所对应的矩阵的秩，但注意本题所给的矩阵不是实对称矩阵，故它不是二次型f(x1，x2，x3)的矩阵。应先求二次型矩阵再求秩， 故二次型的秩为1。 问题:22. 微分方程cosydx+(1+e-x)sindy=0满足初始条件的特解是 。 答案:A解析 原方程可整理为： 问题:23. 下列方程中代表单叶双曲面的是 。 答案:A解析 由方程所表示的曲面称为单叶双曲面。问题:24. 设幂级数的收敛半径分别为则幂级数的收敛半径为 。 答案:A解析 由题设， 问题:25. 已知3维列向量，满足T=3，设3阶矩阵A=T，则 。A.是A的属于特征值0的特征向量B.是A的属于特征值0的特征向量C.是A的属于特征值3的特征向量D.是A的属于特征值3的特征向量答案:C解析 由题意可得A=T=3，所以是A的属于特征值3的特征向量。问题:26. 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则 。A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数答案:D解析 f(x)为概率密度的充要条件是： 而F(x)为分布函数的充要条件是满足：0F(x)1，F(-)=0，F(+)=1；F(x)单调不减；右连续。 因此只需检验上述条件是否成立即可。 因此可先排除A，C。 又设 则 显然不满足概率密度函数的要求，进一步排除B。 事实上，可验证F1(x)F2(x)确实满足分布函数的三个条件。 问题:27. 设总体X的均值与方差2都存在，且均为未知参数X1，X2，Xn是X的一个样本，记则总体方差2的矩估计为 。 答案:B解析 总体方差的矩估计与样本二阶中心矩相等，且为未知。问题:28. 设n阶矩阵A非奇异(n2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则 。A.(A*)*=|A|n-1AB.(A*)*=|A|n+1AC.(A*)*=|A|n-2AD.(A*)*=|A|n+2A答案:C解析 利用伴随矩阵的性质和行列式的性质即可。涉及伴随矩阵A*，首先联想到公式AA*=A*A=|A|E。 A*=|A|A-1 于是 问题:29. 函数展开成(x-2)的幂级数是 。 答案:A解析 f(x)在x=x0的泰勒级数展开式为，从而 问题:30. 下列函数中，在点(0，0)处连续的函数是 。 答案:D解析 A项，因A中函数在点(0，0)处没定义，故函数在点(0，0)处不连续。 因此，D项中函数在点(0，0)处连续。 问题:31. 设，是n维向量，已知，卢线性无关，可以由，线性表示，不能由，线性表示，则以下选项中正确的是 。A.，线性无关B.，线性无关C.，线性相关D.，线性无关答案:D解析 根据线性相关的定义，若一个向量可以由一些线性无关的向量线性表出，则这个向量与它们线性相关，否则线性无关，因此，线性相关，线性无关。问题:32. 已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任-n维列向量X，均有XTAX=0，则有 。A.|A|0B.|A|=0C.|A|0D.以上三种都有可能答案:B解析 由于对任一n维列向量均有XTAX=0，两边转置，有 XTATX=0，从而XT(A+AT)X=0 显然有(A+AT)T=A+AT，即A+AT为对称矩阵。 从而对任-n维列向量均有：XT(A+AT)X=0， 且A+AT为实对称矩阵，从而有A+AT=0。 即AT=-A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故|A|=0。 问题:33. 设总体XN(，2)，2已知，若样本容量n和置信度1-均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度 。A.变长B.变短C.保持不变D.不能确定答案:C解析 的置信区间是对于不变的n和1-，置信区间长度l=保持不变。问题:34. 下列广义积分中收敛的是 。 答案:B解析 问题:35. 设事件A与B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则下列结论正确的是 。A.P(A|B)=P(A)B.P(A|B)=0C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(B|A)0答案:B解析 因为事件A与B互不相容，所以P(AB)=0，又因为P(A)0，P(B)0， 所以 P(AB)=P(B)P(A|B) 由P(AB)=0，P(B)0易得P(A|B)=0。 问题:36. 设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有 。A.a=b或a+2b=0B.a=b或a+2b0C.ab且a+2b=0D.a6且a+2b0答案:C解析 A的伴随矩阵的秩为1，说明A的秩为2，由此可确定a，b应满足的条件。根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，r(A)=2，故有 但当a=b时，显然r(A)2，故必有ab且a+2b=0，应选C。 评注 n(n2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系： 问题:37. 设，则级数 。 答案:C解析 注意为正项级数，交错级数可考虑用莱布尼茨判别法判定其收敛性(满足莱布尼茨判别法条件则收敛，不满足其条件并不能说明是发散的)，而正项级数除了用比值法、根值法外，当一般项趋于零时，经常可通过寻找一般项的等价无穷小量，将问题转化为以等价无穷小量为一般项的级数的敛散性判定问题。 问题:38. 设则秩r(AB-A)等于 。A.1B.2C.3D.与a的取值有关答案:B解析 AB-A=AB-AE=A(B-E) 问题:39. 设总体X的概率分布为： X 0 l 2 3 P 2 2(1-) 2 1-2 其中是未知参数，利用样本值3，1，3，0，3，1，2，3，所得的矩估计值是 。 答案:A解析 根据题意，总体X的期望为：E(X)=2(1-)+22+3(1-2)=3-4，利用样本值可得到其平均值为：于是有，3-4=2，解得，问题:40. 设平面的方程为2x-2y+3=0，以下选项中错误的是 。 A平面的法向量为i-j B平面垂直于z轴 C平面平行于z轴 D平面与xoy面的交线为 答案:B解析 A项，过定点(x0，y0，z0)，以n=A，B，C为法线向量的平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 因此，平面的法向量为1，-1，0或者i-j； B项，不含z分量，应与z轴平行； D项，令z=0，得平面与xoy面的交线，即z=y-1.5，该线过点(0，15，0)，方向向量S=1，1，0，据此可写出点向式方程为 问题:41. 假设总体XN(，1)，关于总体X的数学期望有两个假设： H0：=0，H1：=1 设X1，X2，X9是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，以p表示标准正态分布水平p双侧分位数；则在H0的4个水平=0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是( )。 答案:C解析 首先注意到4个否定域中，第一类错误概率都等于0.05。 解该题首先要靠直观“判断力”：因为统计量 反映数学期望与0=0的差异，当统计量的值大到一定程度时，否定H0:0，接受H1:=1，因此应选择C。 其实，如果计算各否定域的第二类错误概率，则可以得到同样结沦。事实上，由于在H1:=1成立的条件下可见否定域Vk(k=1，2，3，4)的第二类错误概率为 利用正态分布函数数值表，可得：1=0.14917，2=0.999441，3=0.0877，4=0.999998。 可见以为否定域的检验的第二类错误概率最小。 问题:42. 圆周=cos，=2cos及射线=0，所围的图形的面积S等于 。 答案:C解析 根据积分区域可得，问题:43. 设曲线y=y(x)上点P(0，4)处的切线垂直于直线x-2y+5=0，且该点满足微分方程y+2y+y=0，则此曲线方程为( )。 答案:D解析 y+2y+y=0(二阶常系数线性齐次方程)y=e-x(C1x+C2)(通解)。 由题意知y(0)=4，y(0)=-2，于是可得C2=4，C1=2， 故