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注册土木工程师考试密押资料基础考试分类模拟5注册土木工程师考试密押资料基础考试分类模拟5基础考试分类模拟5单项选择题问题:1. 若级数收敛，则下列级数中不收敛的是： A B C D 答案:D解析 利用级数性质易判定选项A、B、C均收敛；对于选项D，因收敛；则有而级数的一般项为故选项D的级数发散。问题:2. 设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间是：A.(-2，2)B.(-2，4)C.(0，4)D.(-4，0)答案:C解析 由已知条件可知l设x-2=t，幂级数化为求系数比的极限确定收敛半径，即|t|2收敛，代入得-2x-22，即0x4，收敛。问题:3. 下列各级数中发散的是： A B C D 答案:A解析 利用交错级数收敛法可判定选项B的级数收敛；利用正项级数比值法可判定选项C的级数收敛；利用等比级数收敛性的结论知选项D的级数收敛，故发散的是选项A的级数。 或直接通过正项级数比较法的极限形式判定，因级数发散，故发散。 问题:4. 幂级数的收敛域是： A-2，4) B(-2，4) C(-1，1) D 答案:A解析 设x-1=t，级数化为求级数的收敛半径。 因 则即|t|3收敛。 再判定t=3，t=-3时的敛散性，当t=3时发散，t=-3时收敛。 计算如下：t=3代入级数，为调和级数发散； t=-3代入级数，为交错级数，满足莱布尼兹条件收敛。因此-3x-13，即-2x4。 问题:5. 已知级数是收敛的，则下列结论成立的是： A B C D 答案:B解析 通过举例说明。 取un=1，级数级数发散，而级数收敛。 取un=0，级数收敛，而级数收敛。 问题:6. 函数展开成(x-1)的幂级数是： A B C D 答案:C解析 将函数变形，利用公式将函数展开成x-1幂级数，即变形利用公式写出最后结果。 所以 问题:7. 下列各级数发散的是： A B C D 答案:A解析 选项B为交错级数，由莱布尼兹判别法判定其收敛；选项C，由正项级数比值收敛法判定其收敛。 选项D为等比级数，公比收敛。 选项A发散，用正项级数比较法判定。 因为调和级数发散，所以发散。 问题:8. 函数展开成(x-2)的幂级数是： A B C D 答案:A解析 将函数变形后，再利用已知函数的展开式写出结果。 已知 所以 问题:9. 已知函数是收敛的，则下列结果成立的是： A B C D 答案:B解析 举反例说明，符合题目条件的级数有两种不同的结果，一种可能收敛，另一种可能发散。 例：令un=0，级数 而收敛，说明选项D错误。 例：令un=1，级数 而发散，说明选项A、C错误。 综合以上两例，满足条件的级数未必收敛。 问题:10. 级数在|x|1内收敛于函数： A B C D 答案:B解析 级数公比q=-x，当|q|1时收敛，即|-x|1，|x|1，-1x1。 故级数收敛，和函数 问题:11. 级数的收敛性是：A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.无法判断答案:A解析 将级数各项取绝对值得 级数故收敛。 由正项级数比较法，级数收敛。 所以原级数绝对收敛。 问题:12. 级数的和函数是： A B C D 答案:B解析 级数公比q=-x，当-1x1时，|q|1。 级数的和函数 问题:13. 设其中的值是： A B C D0 答案:C解析 将函数奇延拓，并作周期延拓。画出在(-，函数的图形(见解图)，为函数的间断点，由狄利克雷收敛定理： 问题:14. 级数收敛的充要条件是： A B C D 答案:D解析 题中未说明级数是何种级数。选项B、C仅适用于正项级数，故B、C不一定适用。选项A为级数收敛的必要条件，不是充分条件。选项D对任何级数都适用，是级数收敛的充要条件。问题:15. 正项级数判定是此正项级数收敛的什么条件?A.充分条件，但非不要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件答案:A解析 利用正项级数比值法确定级数收敛，而判定正项级数收敛还有其他的方法，因而选A。问题:16. 级数前n项和Sn=a1+a2+an，若an0，判断数列Sn有界是级数收敛的什么条件?A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件答案:C解析 用正项级数基本定理判定。问题:17. 设任意项级数若|an|an+1|且则对该级数下列哪个结论正确?A.必条件收敛B.必绝对收敛C.必发散D.可能收敛，也可能发散答案:D解析 举例说明，级数均满足条件，但前面级数发散，后面级数收敛，敛散性不能确定。问题:18. 若级数收敛，则对级数下列哪个结论正确?A.必绝对收敛B.必条件收敛C.必发散D.可能收敛，也可能发散答案:D解析 举例说明，级数均收敛，但级数一个收敛，一个发散。问题:19. 下列命题中，哪个是正确的? A周期函数f(x)的傅立叶级数收敛于f(x) B若f(x)有任意阶导数，则f(x)的泰勒级数收敛于f(x) C若正项级数收敛，则必收敛 D正项级数收敛的充分且必要条件是级数的部分和数列有界 答案:D解析 本题先从熟悉的结论着手考虑，逐一分析每一个结论。选项D是正项级数的基本定理，因而正确，其余选项均错误。选项A，只在函数的连续点处级数收敛于于f(x)；选项B，级数收敛，还需判定选项C，可通过举反例说明，级数收敛，但发散。问题:20. 级数收敛是的什么条件?A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件答案:A解析 级数收敛的必要条件须注意本题的条件和结论。问题:21. 正项级数收敛是级数收敛的什么条件?A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件答案:A解析 利用正项级数比较判别法极限形式判定：故级数 收敛，反之不一定正确。 问题:22. 下列级数中，发散的级数是哪一个? A B C D 答案:D解析 利用级数敛散性判定法可断定A、B、C式收敛，D式所以级数发散。问题:23. 若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处的敛散性是怎样的?A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不能确定答案:C解析 设x-2=z，级数化为当x=-2收敛，即z=-4收敛，利用阿贝尔定理，z在(-4，4)收敛且绝对收敛，当x=5时，z=3，级数收敛且绝对收敛。问题:24. 幂级数的和函数是： Axsinx B Cxln(1-x) Dxln(1+x) 答案:D解析 利用ln(1+x)的展开式，即从已知级数中提出字母x和函数即可得到。问题:25. 级数在|x|1内收敛于函数： A B C D 答案:B解析 级数为等比级数，公比q=-x，|q|=|x|1，由代入数据计算得本题问题:26. 微分方程的通解是： A B C D 答案:C解析 分离变量，化为可分离变量方程两边进行不定积分，得到最后结果。 注意左边式子的积右边式子积所以其中C=e-C1。 问题:27. 微分方程的通解是：(C为任意常数) A B C D 答案:A解析 微分方程为一阶齐次方程 设 代入化简得 两边积分(其中C=eC1) 代入 问题:28. 微分方程y+2y=0的通解是： Ay=Asin2x By=Acosx C D 答案:D解析 写出微分方程对应的特征方程r2+2=0，得写出通解问题:29. 微分方程ydx+(x-y)dy=0的通解是：(C为任意常数) A B Cxy=C D 答案:A解析 将微分方程化成方程为一阶线性方程。 其中 代入求通解公式x=e-P(y)dy(y)e(y)dydy+C 计算如下： 变形得 或将方程化为齐次方程计算 问题:30. 微分方程(3+2y)xdx+(1+x2)dy=0的通解为：(C为任意常数) A1+x2=Cy B(1+x2)(3+2y)=C C D(1+x2)2(3+2y)=C 答案:B解析 方程的类型为可分离变量方程，将方程分离变量得两边积分： 则ln(1+x2)+ln(3+2y)=-2C，令-2C=lnC1，则ln(1+x2)+ln(3+2y)=lnC1，故(1+x2)(3+2y)=C1。 问题:31. 微分方程y+ay2=0满足条件y|x=0=0，y|x=0=-1的特解是： A B Cax-1 D 答案:A解析 本题为可降阶的高阶微分方程，按不显含变量x计算。设y=P，y=P，方程化为分离变量，代入初始条件x=0，P=y=-1，得C1=1，即求出通解，代入初始条件，求出特解。 即代入初始条件x=0，y=0，得C=0。 故特解为 问题:32. 微分方程cosydx+(1+e-x)sinydy=0满足初始条件的特解是： A Bcosy=1+ex Ccosy=4(1+ex) Dcos2y=1+ex 答案:A解析 本题为一阶可分离变量方程，分离变量后两边积分求解。 代入初始条件得C=4 因此 问题:33. 微分方程y=x+sinx的通解是：(C1，C2为任意常数) A B C D 答案:解析 本题为可降阶的高阶微分方程，连续积分二次，得通解。 问题:34. 微分方程y-4y=4的通解是：(C1，C2为任意常数)A.C1e2x-C2e-2x+1B.C1e2x+C2e-2x-1C.e2x-e-2x+1D.C1e2x+C2e-2x-2答案:B解析 本题为二阶常系数线性非齐次方程。 非齐次通解y=齐次的通解y+非齐次一个特解y，y-4y=0，特征方程r2-4=0，r=2。齐次通解为y=C1e-2x+C2e2x。 将y*=-1代入非齐次方程，满足方程，为非齐次特解。 故通解y=C1e2x+C2e-2x-1 问题:35. 微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0的通解是：(C为任意常数) A B1+y=C(1-x)2 C(1-x)(1+y)=C D 答案:C解析 此题为一阶可分离变量方程，分离变量后，两边积分。 微分方程 两边积分：-ln(1-x)-ln(1+y)=-lnc，(1-x)(1+y)=C。 问题:36. 微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解是： A B C D 答案:A解析 此题为一阶线性微分方程，直接代入公式计算，设方程为y+p(x)y=Q(x)，则通解y=e-p(x)dxQ(x)ep(x)dxdx+C，本题代入公式： 代入初始条件，当x=1，y=0，即得C=-1，故 问题:37. 微分方程y+2y=0的通解是：(A，B为任意常数) A B C D 答案:D解析 本题为二阶常系数线性齐次方程求通解，写出方程对应的特征方程r2+2=0， 问题:38. 方程y=p(x)y的通解是：A.y=e-p(x)dx+CB.y=ep(x)dx+CC.y=Ce-p(x)dxD.y=Cep(x)dx答案:D解析 方程y=p(x)y为一阶可分离变量方程。 分离度量， 两边积分，lny=p(x)dx+C y=ep(x)dx+C=eCep(x)dx=C1ep(x)dx。 问题:39. 已知一阶微分方程问该方程的通解是下列函数中的哪个? A B C D 答案:B解析 方程是一阶齐次方程，设化为可分离变量方程：ln(lnu-1)=lnx+lnC，lnu-l=Cx，lnu=Cx+1，即问题:40. 微分方程y-6y+9y=0，在初始条件y|x=0=2，y|x=0=0下的特解为： A B C2x D2xe3x 答案:D解析 先求出二阶常系数齐次方程的通解，代入初始条件，求出通解中的C1、C2值，得特解，y-6y+9y=0，r2-6r+9=0，r1=r2=3，y=(C1+G2x)e3x，代入初始条件，得D。问题:41. 函数yC1e2x+C2(其中C1、C2是任意常数)是微分方程的哪一种解?A.通解B.特解C.不是解D.是解，但不是通解也不是特解答案:D解析 y=C1e2x+C2=C3e2x经验证是方程的解，但不是通解，也不是特解。问题:42. 微分方程ydx+(y2x-ey)dy=0是下述哪种方程?A.可分离变量方程B.一阶线性的微分方程C.全微分方程D.齐次方程答案:B解析 方程可化为x+P(y)x=Q(y)的形式ydx+(y2x-ey)dy=0，为一阶线性非齐次方程，即一阶线性方程。问题:43. 下列一阶微分方程中，哪一个是一阶线性方程? A(xey-2y)dy+eydx=0 Bxy+y=ex+y C D 答案:A解析 把一阶方程化为x+P(y)x=Q(y)的形式。问题:44. 若y2(x)是线性非齐次方程y+P(x)y=Q(x)的解，y1(x)是对应的齐次方程y+P(x)y=0的解，则下列函数中哪一个是y+P(x)y=Q(x)的解?A.y=Cy1(x)+y2(x)B.y=y1(x)+C2y2(x)C.y=Cy1(x)+y2(x)D.y=C1y(x)-y2(x)答案:A解析 由一阶线性非齐次方程通解的结构确定，即由对应齐次方程的通解加上非齐次的一特解组成。问题:45. 若y1(x)是线性非齐次方程y+P(x)y=Q(x)的一个特解，则该方程的通解是下列中哪一个方程?A.y=y1(x)+eP(x)dxB.y=y1(x)+Ce-P(x)dxC.y=y1(x)+e-P(x)dx+CD.y=y1(x)+CeP(x)dx答案:B解析 非齐次方程的通解是由齐次方程的通解加非齐次方程的特解构成，令Q(x)=0，求对应齐次方程y+p(x)y=0的通解。 齐次方程的通解y=Ce-P(x)dx，非齐次方程的通解y=y1(x)+Ce-P(x)dx。 问题:46. 满足方程的解f(x)是： A B C D 答案:C解析 对方程两边求导，得一阶线性方程f(x)+2f(x)=2x，求通解。 问题:47. 设f(x)、f(x)为已知的连续函数，则微分方程y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是：A.y=f(x)+Ce-f(x)B.y=f(x)ef(x)-ef(x)+CC.y=f(x)-1+Ce-f(x)D.y=f(x)-1+Cef(x)答案:C解析 对关于y、y的一阶线性方程求通解。其中P(x)=f(x)、Q(x)=f(x)f(x)，利用公式y=e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C求通解即可。问题:48. 设f1(x)和f2(x)为二阶常系数线性齐次微分方程y+py+q=0的两个特解，若由f1(x)和f2(x)能构成该方程的通解，下列哪个方程是其充分条件?A.f1(x)f2(x)-f2(x)f1(x)=0B.f1(x)f2(x)-f2(x)f1(x)0C.f1(x)f2(x)+f2(x)f1(x)=0D.f1(x)f2(x)+f2(x)f1(x)0答案:B解析 二阶线性齐次方程通解的结构要求f1(x)，f2(x)线性无关，即两边求导要求f2f1-f2f10。问题:49. 已知r1=3，r2=-3是方程y+py+qy=0(p和q是常数)的特征方程的两个根，则该微分方程是下列中哪个方程?A.y+9y=QB.y-9y=0C.f+9y=0D.y-9y=0答案:D解析 由(r-3)(r+3)=0，得到r2-9=0，即y-9y=0。利用r1=3，r2=-3问题:50. 设线性无关函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的解，C1、C2是待定常数。则此方程的通解是：A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C3)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D